Tailieumontoan.com

Điện thoại (Zalo) 039.373.2038

CÁC BÀI TOÁN PHÂN LOẠI
TRONG ĐỀ GIỮA KÌ 2 LỚP 6,7,8,9
(Liệu hệ tài liệu word môn toán SĐT (zalo) : 039.373.2038)

Tài liệu sưu tầm, ngày 15 tháng 1 năm 2023

1

Website:tailieumontoan.com

TUYỂN TẬP CÁC BÀI TẬP LẤY 10 ĐIỂM
MÔN TOÁN GIỮA KÌ 2 CÁC LỚP 6,7,8,9

CÁC BÀI TOÁN PHÂN LOẠI LỚP 6
Bài 1. (Trường THCS Thanh Xuân Nam )
32
32
32
32
+
+
+ ... +
2.5 5.8 8.11
98.101
Bài 2. (Trường THCS Nguyễn Tất Thành - Hà Nội)
2n − 3
Tìm số nguyên n để phân số
có giá trị là số nguyên.
3n + 2
Bài 3. (Trường THCS Nguyễn Công Trứ - Hà Nội )
Tính giá trị biểu thức
2019 2019 2019
2019
A=
+
+
+ ... +
1.2
2.3
3.4
2018.2019
Bài 4. (Trường THCS Xuân Đỉnh - Hà Nội )
x−5
Cho biểu thức A =
. Tìm số nguyên x để biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ
x−3
nhất đó.
Bài 5. (Quận Hà Đông - Hà Nội )
Tìm một phân số tối giản, biết rằng khi cộng mẫu số vào tử số và cộng mẫu số vào mẫu số
của phân số ấy thì được một phân số mới lớn gấp 2 lần phân số ban đầu.
Bài 6. (Quận Thanh Trì - Hà Nội )
2015 + 2016 + 2017
2015 2016 2017
So sánh hai phân số A=
và B =
+
+
2016 + 2017 + 2018
2016 2017 2018
Bài 7. (Quận Ba Đình - Hà Nội )
Tìm x, biết:
1
1
1
1
+
+ ... +
=
( x ∈ N , x ≥ 2)
2.4 4.6
(2 x − 2).2 x 8
Tính giá trị của biểu thức sau: M =

Bài 8. (Quận Thanh Oai - Hà Nội )
Cho a; b; c; d ∈ * thỏa mãn

a c
2018a + c c
< . Chứng minh rằng:
<
b d
2018b + d d

Bài 9. (Quận Cầu Giấy - Hà Nội )
1
12
20
388
396
Cho B =
. Hãy so sánh B với
+
+ ...
+
2
2
2
2
4
(2.4)
(4.6)
(96.98)
(98.100)
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN SĐT (ZALO): 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

2

Website:tailieumontoan.com
Bài 10. (Trường Mỹ Thành - Hà Nội )
Tìm các giá trị của n ∈ Z để n + 13 chia hết cho n − 2 .
Bài 11. (Huyện Đan Phượng - Hà Nội )
3 5 7
9 11 13 15 17 19
Tính giá trị biểu thức A = − + −
+
−
+
−
+
2 6 12 20 30 42 56 72 90
Bài 12. (Huyện Thanh Trì - Hà Nội )
A
Tính tỷ số
biết:
B
34
51
85
68
39
65
52
26
A=
+
+
+
B=
+
+
+
;
7.13 13.22 22.37 37.49
7.16 16.31 31.43 43.49
Bài 13. (Huyện Thanh Trì - Hà Nội )
1
1
1
1
a) Tính
+
+
+ ... +
1.2 2.3 3.4
2018.2019
b) Cho 2018 số tự nhiên là a1 ; a2 ; a3 ;...; a2018 đều là các số lớn hơn 1 thỏa mãn điều kiện

1
1
1
1
+ 2 + 2 + ... + 2 =
1 . Chứng minh rằng trong 2018 số này, ít nhất sẽ có 2 số bằng nhau.
2
a1 a2 a3
a2018
Bài 14. (Huyện Thanh Trì - Hà Nội )
 1
1
 1
  1

Cho A =
− 1
 2 − 1 .  2 − 1 .  2 − 1 ... 
2
2
 3
 4
  100

1
So sánh A với −
2
1
1
1
1
1
. Chứng minh rằng: A <
Bài 15. Cho A = 2 + 2 + 2 + ... +
2
2
2
4
6
100
Bài 17. Tìm a, b ∈ Z để a + b =−21; b + c =49; a + c =
10 .

Bài 18. Cho A =

3
3
3
3
, n ∈ N * . Chứng minh A < 1 .
+
+
+ ... +
1.4 4.7 7.10
n(n + 3)

2003.2004 − 1
2004.2005 − 1
và
.
2003.2004
2004.2005
n−5
Bài 20. Cho phân=
số A
( n ∈ Z ; n ≠ −1) .
n +1
+) Tìm n để A là số nguyên.
+) Tìm n để A là số tối giản.
Bài 21.
a) Tìm số nguyên tố P sao cho các số P + 2 và P + 10 là các số nguyên tố.
b) Tìm giá trị nguyên dương nhỏ hơn 10 của x và y sao cho 3 x − 4 y =
−21 .

Bài 19. So sánh

Bài 22. Cho n ∈ N . Chứng minh rằng 5n − 1 chia hết cho 4.
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN SĐT (ZALO): 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

3

Website:tailieumontoan.com
2
2
2
2
và
+
+ ... +
+
60.63 63.66
117.120 2002
5
5
5
5
.
B=
+
+ ... +
+
40.44 44.48
76.80 2003

Bài 23. So sánh: =
A

Bài 24. So sánh: 200410 + 20049 và 200510 .
Bài 25.
a) Tìm các số nguyên x sao cho 4 x − 3 chia hết cho x − 2 .
5a + 7b 29
và ( a; b ) = 1 .
b) Tìm các số tự nhiên a và b thỏa mãn:
=
6a + 5b 28
Bài 26. Chứng minh rằng: A = 10n + 18n − 1 chia hết cho 27 ( n là số tự nhiên).

1 1 1
1
+ + + ... +
2 3 4
2014
Bài 27. Tính giá trị của biểu thức A =
2013 2012 2011
1
+
+
+ ... +
1
2
3
2013
Bài 28. Cho a, b, c là các số nguyên dương tùy ý. Tổng sau có thể là nguyên dương không?
M =

a
b
c
+
+
a+b b+c c+a

Bài 29.
1 
1 
1  
1 

a) Tìm tích sau: 1 −  . 1 −  . 1 −  ... 1 −
.
 21   28   36   1326 
x 2 + 3x − 1
.
x+2
1.2004 + 2.2003 + 3.2002 + ... + 2004.1
Bài 30. Tính giá trị biểu thức A =
1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 2004.2005
b) Tìm x ∈  để phân số sau có giá trị là số nguyên:

1 
1
2
3
98 99
1 1 1
Bài 31. Tìm x , biết:  + + + ... +
+
+
+ ... +
+
 .x =
100 
99 98 97
2
1
2 3 4
Bài 32. Chứng minh rằng: Nếu 3a + 4b + 5c chia hết cho 11 với các giá trị tự nhiên nào đó của
a, b, c thì biểu thức 9a + b + 4c với các giá trị đó của a, b, c cũng chia hết cho 11.
2n + 1
là phân số tối giản với moi số tự nhiên n.
4n 2 + 1
2n + 3
Bài 34. Tìm các số nguyên n để phân số
là phân số tối giản.
3n + 7

Bài 33. Chứng minh rẳng phân số

Bài 35. a) So sánh các phân số
2

415 + 1 412 + 1
va
417 + 1 414 + 1
3

1 3 3 3
3
b) Cho A = + +   +   + ...  
2 2 2 2
2

2022

3
và B = 2.  
2

LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN SĐT (ZALO): 039.373.2038

2023

. Tính B − A.

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

4

Website:tailieumontoan.com

CÁC BÀI TOÁN PHÂN LOẠI LỚP 7
Bài 36. (Quận Hà Đông – Hà Nội)

Tìm số nguyên x sao cho: ( x 2 − 1)( x 2 − 4 )( x 2 − 7 )( x 2 − 10 ) < 0
Bài 37. (Trường Phú Diễn – Hà Nội)
Tìm tất cả các cặp số nguyên ( a; b ) thỏa mãn điều kiện: 3a − b + 2ab − 10 =
0
Bài 38. (Trường Xuân Đỉnh- Bắc Từ Liêm – Hà Nội)
a) Tìm số tự nhiên x, y biết: 7 ( x − 2017 ) =
23 − y 2
2

b) Cho đa thức f ( x ) thỏa mãn f ( x ) + x. f ( − x ) = x + 1 với mọi giá trị của x . Tính f (1) .
Bài 39. (Trường Xuân Đỉnh- Bắc Từ Liêm – Hà Nội)
1
Tính A =
xy + x 2 y 2 + x 4 y 4 + x 6 y 6 + x8 y 8 + ... + x 2016 y 2016 + x 2018 y 2018 tại x =
−2, y =
2
Bài 40. (Trường Amsteddam – Hà Nội)
Cho đa thức M ( x ) = ax 2 + bx + c. Biết đa thức M(x) có giá trị bằng 0 với mọi giá trị của x. Tìm
a, b, c.

Bài 41. (Huyện Thanh Oai– Hà Nội)
1.5.6 + 2.10.12 + 3.15.18 + 4.20.24 + 5.25.30
Tính nhanh:
1.3.5 + 2.6.10 + 3.9.15 + 4.12.20 + 5.15.25
Bài 42. (Quận Hà Đông– Hà Nội)
xy + yz + zx
Chứng minh rằng nếu x ≥ 3; y ≥ 3; z ≥ 3 thì A =
có giá trị nhỏ hơn hoặc bằng 1.
xyz
Bài 43. (Trường Minh Khai– Hà Nội)
2n − 1
Cho A =
. Tìm giá trị nguyên của n để A là một số nguyên.
3−n
Bài 44. (Trường Nguyễn Trãi – Quận Hà Đông – Hà Nội)
Tìm số nguyên dương x, y biết: 25 − y 2 = 8 ( x − 2005 )

2

Bài 45. (Trường Thành Công - Hà Nội)
−1 2 3 −3 2
Chứng minh rằng: Ba đơn thức
xy ; 16x5 y không thể cùng có giá trị âm.
x y ;
4
2
Bài 46. (Trường Amsterdam - Hà Nội)
4− x
Cho biểu thức A =
với x ∈  và x ≠ 2 . Tìm giá trị của x để A đạt giá trị nhỏ nhất.
x−2
Bài 47. (Trường Đinh Tiên Hoàng - Hà Nội)
Một người muốn leo lên mái nhà để sửa mái. Người đó lấy một cái thang biết thang dài 5m và
khoảng cách từ chân thang đến nhà là 3m . Hỏi khoảng cách từ mặt đất lên mái nhà.
Bài 48. (Trường Võ Thành Trang - Hà Nội)
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN SĐT (ZALO): 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

5

Website:tailieumontoan.com
Một cây cau đứng thẳng vuông góc với mặt đất bị giông bão thổi mạnh gãy gập xuống làm cho
ngọn cây chạm đất. Người ta đo được khoảng cách từ ngọn đến gốc cau là 1m và khoảng cách từ
khúc cây bị gãy đến mật đất là 0, 75 m . Hãy tính chiều cao cây cau lúc chưa gãy.
Bài 49. (Trường Minh Khai - Hà Nội)
Tính giá trị của đa thức Q =6 x 3 − 4 x 2 y − 14 y 2 + 21xy + 9 tại x, y thỏa mãn 2 x 2 + 7 y =
0
Bài 50. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
A=

(x

2

− 9 ) + y − 2 + 10
2

Bài 51. (Trường Nguyễn Tất Thành - Hà Nội)
Cho hai biểu thức=
= y 2 − x 2 . Biết ( x − y )11 .
M 3 x( x − y ) và N
Chứng minh rằng ( M − N )11
Bài 52. (Trường Tây Tựu- Hà Nội)
Tính giá trị của biểu thức:

A =−
1


z 
x 
y
0
 1 −  1 +  biết x, y, z ≠ 0 và x − y − z =
x 
y 
z

Bài 53. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =

14 − x
∀x ∈ Z . Khi đó x nhận giá trị nguyên
4− x

nào?
Bài 54. Tính giá trị của các biểu thức sau: A =

2x + 3y
x 1
biết =
y 2
x + 2y

CÁC BÀI TOÁN PHÂN LOẠI LỚP 8
Bài 55. (Trường Minh Khai - Hà Nội)
Cho ( a + b + c ) = a 2 + b 2 + c 2 và a, b, c khác 0. Chứng minh rằng:
2

1
1
1
3
+ 2 + 2 =
2
abc
a
b
c
Bài 56. (Trường Minh Khai - Hà Nội)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 8 x 2 + 3 y 2 − 8 xy − 6 y + 21
Bài 57. (Trường Minh Khai - Hà Nội)
Giải phương trình x ( 4 x − 1) ( 2 x − 1) =
9
2

Bài 58. Giải và biện luận phương trình ẩn x theo tham số m
x+3 x+m
=
x −1 x +1
Bài 59. Giải phương trình x 4 + 3 x3 + 6 x + 4 =
0

LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN SĐT (ZALO): 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

6

Website:tailieumontoan.com

Bài 60. Tìm giá trị nhỏ nhất của Q =

5 x 2 − 24 x + 29
khi x ≠ 2.
x2 − 4x + 4

Bài 61. Cho x 2 + y 2 + z 2 =
200. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = 2 xy − yz − zx.
Bài 62:

Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A=
− x2 + 2x − 3

B= 3 x 2 − 6 xy + 5 y 2 − x + 3 y + 2021

\

x 2 + x + 20
.
x2 + x + 5
yz xz xy
1 1 1
1) Cho + + =.
0 Tính giá trị cửa biểu thức sau B = 2 + 2 + 2 .
x y z
x
y
z

C=
Bài 63:

2) Cho x , y , z là ba số thực khác 0 thỏa mãn x + y + z ≠ 0 ; x3 + y 3 + z 3 =
3 xyz
Tính C =

x 2019 + y 2019 + z 2019

( x + y + z)

2019

Bài 64:

Giải phương trình sau : ( x − 2018 ) + ( x − 2019 ) − ( 2 x − 4037 ) =
0,

Bài 65:

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức K =

3

3

3

3 − 4x
2x2 + 2

x+a x−2
+
=
2. Xác định giá trị của a để phương trình vô nghiệm.
x +1
x
2m − 1
Bài 67. Hãy giải và biện luận phương trình sau theo tham số
= m−2
x −1

Bài 66. Cho phương trình

CÁC BÀI TOÁN PHÂN LOẠI LỚP 9
Bài 68. (Trường Dịch Vọng – Hà Nội)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =

x+3 x−2
x + 4 x − 2 +1

Bài 69. (Quận Hà Đông – Hà Nội)
Với x, y, z là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức xy + yz + zx =
5
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

3x + 3 y + 2 z
6 ( x + 5) + 6 ( y 2 + 5) + z 2 + 5
2

Bài 70. (Quận Bắc Từ Liêm – Hà Nội)
Cho x > 0, tìm GTNN của biểu thức A = x 2 + 3 x +

1
x

Bài 71. (Quận Tây Hồ – Hà Nội)
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN SĐT (ZALO): 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

7

Website:tailieumontoan.com
Cho hai số dương x, y thỏa mãn x + y = 1
1 
1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =  x +  +  y + 
x 
y

Bài 72. (Trường Lê Quý Đôn – Hà Nội)
Giải phương trình:
2

2

x 2 + 2018 2 x 2 + 1 = x + 1 + 2018 x 2 + x + 2
Bài 73. (Trường Niu Tơn– Hà Nội)
Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh:
a+b+c+d +e ≥ a

(

b+ c+ d + e

)

Bài 74. (Trường Thái Thịnh – Hà Nội)
Cho x > 0, y > 0 và x + y ≤ 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất=
của T

1
1
+ 2
x + xy y + xy
2

Bài 75. (Trường Hà Đông – Hà Nội)
Với các số a, b, c > 0 và thỏa mãn a + b + c =
1.
1
a
b
c
Chứng minh
+
+
≥
2
2
2
2
1 + 9b 1 + 9c 1 + 9a
Bài 76. (Trường Ngô Sĩ Liên – Hà Nội)
Cho a, b, c dương thỏa mãn a + b + c =
3. Tìm GTNN của A =

1
1
1
+ 2
+ 2
a +1 b +1 c +1
2

Bài 77. (Trường Amsterdam – Hà Nội)
Cho a, b, c là các số thỏa mãn a + b + c =
1
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức A = a 2 + b 2 + c 2 − 3ab
Bài 78. (Quận Bắc Từ Liêm – Hà Nội)
Cho các số thực a, b không âm thỏa mãn a 2 + b 2 ≤ 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

=
C

a ( 29a + 3b ) + b ( 29b + 3a )

Bài 79. (Quận Nam Từ Liêm – Hà Nội)
Cho hai số dương x, y thỏa mãn 2 ( x + y − 1) =
xy
2

xy
1
1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =+ 2
+
2
xy x + y
x+ y
Bài 80. (Quận Nguyễn Công Trứ – Hà Nội)
Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn

ab + bc + ca =
1

a2
b2
c2
1
+
+
≥
a+b b+c c+a 2
Bài 81. (Quận Thanh Xuân – Hà Nội)
Chứng minh rằng:

LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN SĐT (ZALO): 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

8

Website:tailieumontoan.com
Cho a, b, c > 0 và a + b + c =
1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A =

ab

c + ab
Bài 82. (Trường Nam Trung Yên– Hà Nội)

+

bc
a + bc

+

ca
b + ca

Giải phương trình x 2 + 2019 2 x 2 + 1 = x + 1 + 2019 x 2 + x + 2
Bài 83. (Trường Chu Văn An – Hà Nội)
Cho các số không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z =
1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: =
Q

2x2 + x + 1 + 2 y 2 + y + 1 + 2 z 2 + z + 1

HƯỚNG DẪN GIẢI
CÁC BÀI TOÁN PHÂN LOẠI LỚP 6
Bài 1.
32
32
32
32
3
3
3 
1
1 
 3
1 1 1 1
+
+
+ ... +
= 3
+
+
+ ... +
−
= 3.  − + − + .... +

2.5 5.8 8.11
98.101
98.101 
98 101 
 2.5 5.8 8.11
2 5 5 8
1 
99 297
1
=3  −
=
 =3.
202 202
 2 101 
Bài 2. Ta có: 3n + 2 3n + 2 ⇒ 2 ( 3n + 2 ) 3n + 2 ⇒ 6n + 4 3n + 2 (1)
M=

Để

2n − 3
là số nguyên thì 3n − 2 3n + 2 ⇒ 2 ( 2n − 3) 3n + 2 ⇒ 6n − 9 3n + 2
3n + 2

( 2)

Từ (1) và (2) suy ra 6n + 4 − ( 6n − 9 ) 3n + 2 ⇒ 13 3n + 2 ⇒ 3n + 2 ∈ U (13) ={±1; ±13}
3n + 2

−13

−1

n

−5 ( tm )

−1 ( tm )

Vậy n ∈ {−5; −1} thì

1

−

1
( L)
3

13

11
( L)
3

2n − 3
nguyên.
3n + 2

Bài 3.

LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN SĐT (ZALO): 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

9

Website:tailieumontoan.com
2019 2019 2019
2019
+
+
+ ... +
1.2
2.3
3.4
2018.2019
1
1
1
 1

= 2019. 
+
+
+ .... +

2018.2019 
 1.2 2.3 3.4
A=

1
1 
 1 1 1
= 2019. 1 − + − + .... +
−

2018 2019 
 2 2 3
1 

= 2019. 1 −

 2019 
2018
= 2019.
2019
= 2018
−2
x−5
−2
Bài 4. Ta thấy A=
đạt GTNN ⇔
nhỏ nhất
= 1+
x−3
x−3
x−3
−2
Xét x − 3 < 0 thì
>0
x−3
−2
−2
Xét x − 3 > 0 thì
nhỏ nhất khi x − 3 > 0
< 0. Vậy
x−3
x−3
−2
có tử âm mẫu dương
Phân số
x−3
−2
Khi đó
nhỏ nhất khi x − 3 là số nguyên dương nhỏ nhất hay x − 3 = 1 ⇔ x = 4
x−3
Vậy x = 4 thì M nhỏ nhất và A = −1
a
Bài 5. Gọi phân số tối giản cần tìm là
b
a a+b
Theo đề bài ta có: 2 ⋅ =
b b+b
2a a + b
2a a + b
4a a + b
a 1
=
⇒ =
⇒ =
⇒ 4a= a + b ⇒ 3a= b ⇒ =
2b
2b
2b
b
b+b
b
b 3
1
Vậy phân số tối giản ban đầu là
3
Bài 6.
2015 + 2016 + 2017
2015
2016
2017
B=
=
+
+
2016 + 2017 + 2018 2016 + 2017 + 2018 2016 + 2017 + 2018 2016 + 2017 + 2018
2015
2015
<
2016 + 2017 + 2018 2016
2016
2016
<
2016 + 2017 + 2018 2017

LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN SĐT (ZALO): 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

10

Website:tailieumontoan.com
2017
2017
<
2016 + 2017 + 2018 2018
Suy ra: B1
1
1
1
Bài 7.
+
+ ... +
=
( x ∈ N , x ≥ 2)
2.4 4.6
(2 x − 2).2 x 8

1 1
1
1  1
+
+ ... +

=
4  1.2 2.3
( x − 1) x  8

1 1
=
x 2
1 1 1 1
1
1 1
−  = x = 2(t / m)
1 − + − + ... +
4 2 2 3
x −1 x  8
1−

Bài 8.

2018a c
a c
< ⇔
< ⇔ 2018ad < 2018bc ⇔ (2018ad + cd ) < (2018bc + cd )
2018b d
b d
2018a + c c
⇔ d (2018a + c) < c(2018b + d ) ⇔
<
2018b + d d
Bài 9.
12
20
388
396
+
+ ...
+
2
2
2
(2.4)
(4.6)
(96.98)
(98.100) 2
1
1
1
1
1
1
1
1
= 2 − 2 + 2 − 2 + ... + 2 − 2 + 2 −
2
4
4
6
96
98
98 1002
1
1
1
1
1
=2 −
=−
<
2
2
4 100
4
2 100
n + 13
15
Bài 10. Ta có:
= 1+
n−2
n−2
Để n + 13 n − 2 thì n − 2 ∈ U (15)
B=

⇒ n − 2 ∈ { ± 1; ±3; ±5; ±15}
⇒ n =±1; ±3;5;7; −13;17 .

Bài 11.
3 5 7
9 11 13 15 17 19
A= − + −
+
−
+
−
+
2 6 12 20 30 42 56 72 90
3
5
7
9
11 13 15 17
19
=
−
+
−
+
−
+
−
+
1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10
3 3 5 5 7 7 9 9 11
17 19 19
= − − + + − − + + − ... + + −
1 2 2 3 3 4 4 5 6
9
9 10
19 11
= 3 − 4 + 4 − 4 + 4 − ... + 4 − =
10 10

LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN SĐT (ZALO): 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

11

Website:tailieumontoan.com

Bài 12. A=
=

17  1 1  34
 − =
3  7 49  49

B=
=

34
51
85
68
34  1 1 
68  1
1 
+
+
+
=
 −  + ... +  − 
7.13 13.22 22.37 37.49 6  7 13 
12  37 49 

39
65
52
26
39  1 1 
26  1
1 
+
+
+
=
 −  + ... +  − 
7.16 16.31 31.43 43.49 9  7 16 
6  43 49 

13  1 1  26
 − =
3  7 49  49

A 34 26 17
⇒=
:=
B 49 49 3
Bài 13.
a)
1
1
1
1
1 1 1 1
1
1
+
+
+ ... +
= − + − + .... +
−
1.2 2.3 3.4
2018.2019 1 2 2 3
2018 2019
1
= 1−
2019
b) Giả sử trong 2018 số đó chẳng có số nào bằng nhau và tất cả các số đều lớn hơn 1. Thế thì:
1
1
1
1
1
1
1
1
+ 2 + 2 + ... + 2 ≤ 2 + 2 + 2 + ... +
2
3
4
20192
a1 a2 a3
a2018 2
Cơ mà:
1
1
1
1
1
1
1
1
+ 2 + 2 + ... +
<
+
+
+ ... +
2
2
1.2 2.3 3.4
2018.2019
2
3
4
2019
1
1−
=
< 1 (theo phần a)
2019
1
1
1
1
Thế nhưng đề bài cho 2 + 2 + 2 + ... + 2 =
1 (vô lý)
a1 a2 a3
a2018
Vậy thể nào trong 2018 số tự nhiên đó cũng có 2 số bằng nhau.
Bài 14.Ta có A là tích của 99 số âm , nên A< 0. Do đó:

1
A=
−  1 − 2
 2

1

 . 1 − 2
 3

1

 . 1 − 2
 4

1
 
 ... 1 −
2
  100





 1   1  
1 
1 
A=
− 1 −  . 1 −  . 1 −  ... 1 −

 4   9   16   10000  
 3 8 15 9999 
A = −  2 . 2 . 2 ...
2 
 2 3 4 100 

LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN SĐT (ZALO): 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

12

Website:tailieumontoan.com
 1.3 2.4 3.5 99.101 
A = −  2 . 2 . 2 ...

1002 
2 3 4
 1.2.3...98.99 3.4.5...100.101 
A = −
.

 2.3.4...99.100 2.3.4...99.100 
1
101
 1 101 
< −
−
−
A=
.
=
2
200
 100 2 
1
Vậy A < −
2
Bài 15.
1
1
1
1
1
A = 2 + 2 + 2 + ... +
= 2
2
2
4
6
100
2

=

1
1
1

1 + 2 + 2 + ... + 2
3
50
 2

1
1
1 
 1 
+
+ ... +
 < 2 1 +

49.50 
 2  1.2 2.3

1
1 1 1
1
1  1
1  1
1
1
− =
−
<
1 + 1 − + − + ... +

1 + 1 − =

4
2 2 3
49 50  4 
50  2 200 2

1
.
2
Bài 17. Từ đề bài suy ra
( a + b ) + ( b + c ) + ( c + a ) =−21 + 49 + 10 ⇔ 2 ( a + b + c ) =38 ⇔ a + b + c =19
Vậy A <

Suy ra c = 19 − ( a + b ) = 19 − ( −21) = 40.
Tương tự a =
−30; b =
9
Bài 18. Ta có: A =

3
3
3
3
+
+
+ ... +
1.4 4.7 7.10
n(n + 3)

1 1 1
1
1
1
+ − + ... + −
=1 −
≤ 1.
4 4 7
n n+3
n+3
2003.2004 − 1
1
2004.2005 − 1
1
Bài 19. Ta có:
.
=
1−
;
=
1−
2003.2004
2003.2004 2004.2005
2004.2005
1
1
1
1
Mà:
>
⇒ 1−
< 1−
2003.2004 2004.2005
2003.2004
2004.2005
=1 −

2003.2004 − 1 2004.2005 − 1
.
<
2003.2004
2004.2005
n−5
Bài 20. Cho phân số A =
, ( n ∈ Z ; n ≠ −1) .
n +1
n − 5 n +1− 6
6
Ta có: A=
.
=
= 1−
n +1
n +1
n +1
⇒

+) A là số nguyên khi n + 1 ∈ U ( 6 ) ={−6; −3; −2; −1;1; 2;3;6} ⇒ n ∈ {−7; −4; −3; −2;0;1; 2;5} .
+) Tìm n để A là số tối giản.
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN SĐT (ZALO): 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

13

Website:tailieumontoan.com
Gọi d lừa ước nguyên tố của n − 5; n + 1 .
2
n − 5 d
d =
.
Khi đó: 
⇒ 6 d ⇒ 
3
n + 1 d
d =
 n + 1 ≠ 2k
 n ≠ 2k − 1
Vậy để A là phân số tối giản thì 
.
⇔
n + 1 ≠ 3k
n ≠ 3k − 1
Bài 21. a) Với P = 2 thì P + 2= 4; P + 10= 12 không thỏa mãn.
Với P = 3 thì P + 2= 5; P + 10= 13 đều là số nguyên tố.
Với P > 3 thì P
= 3k + 2 :
= 3k + 1 hoặc P
+) Nếu P
= 3k + 1 thì P + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 3 3 nên P + 2 là hợp số nên loại.
+) Nếu P
= 3k + 2 thì P + 10 = 3k + 12 3 nên P + 10 là hợp số nên cũng loại.
Vậy chỉ có P = 3 thì P + 2; P + 10 đều là hợp số.
4y
.
3
Để x nguyên thì y  3 ⇒ y= 3k ; k ∈ Z . Mà y là giá trị nguyên dương nhỏ hơn 10.

b) Ta có: 3 x − 4 y =−21 ⇒ 3 x =−21 + 4 y ⇒ x =−7 +

Nên y ∈ {3;6;9} tương ứng có: x ∈ {−3;1;5} .
Vậy ( x; y ) ∈ {(6;1);(9;5)} .
Bài 22. Với n = 0 thì 5n − 1 =
0 4.
Giả sử đúng với n = k tức là 5k − 1 4 .
Khi n= k + 1 thì 5n −=
1 5k +1 −=
1 5.5k −=
1 5.5k − 5 + =
4 5.(5k − 1) + 4 4 vì 5k − 1 4 .
Vậy với mọi n ∈ N ta đều có 5n − 1 chia hết cho 4.
Bài 23. Ta có:
2
2
2
2
2  3
3
3
2

=
A
+
+ ... +
+ =
.
+
+ ... +
+
60.63 63.66
117.120 2002 3  60.63 63.66
117.120  2002
=
A

2 1
1
1
1
1
1 
1
−
+ ... +
−
 − +
+
3  60 63 63 66
117 120  1001

2 1
1 
2
2 2 −1
1
1
1
1
5
.
A=  −
= .
+
=
+
=
+
+
3  60 120  2002 3 120 1001 180 1001 180 5005
B=

5
5
5
5
5  4
4
4 
5
+
+ ... +
+
= .
+
+ ... +
+
40.44 44.48
76.80 2003 4  40.44 44.48
76.80  2003

5  1
1
1
1
1
1 
5
5  1
1 
5
. −
+
−
+ ... +
− +
=
. −  +
4  40 44 44 48
76 80  2003 4  40 80  2003
5 2 −1
5
5 1
5
1
5
B =.
+
=. +
= +
4 80
2003 4 80 2003 64 2003
=
B

LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN SĐT (ZALO): 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

14

Website:tailieumontoan.com
1
1
5
5
;
>
>
⇒ B > A.
64 180 2003 5005
Bài 24. Có
200510 = ( 2004 + 1) .20059 = 2004.20059 + 20059 > 2004.20049 + 20049 = 200410 + 20049 . Suy

Vì

ra: 200510 > 200410 + 20049 .
Bài 25. a) Tìm các số nguyên x sao cho 4 x − 3 chia hết cho x − 2 .

4 x − 3= 4 ( x − 2 ) + 5 x − 2 suy ra 5 x − 2 hay x − 2 ∈ {±1; ±5} ⇒ x ∈ {−3;1;3;7} .
b) Tìm các số tự nhiên a và b thỏa mãn:

5a + 7b 29
và ( a; b ) = 1 .
=
6a + 5b 28

5a + 7b 29
=
⇔ 28(5a + 7b) = 29(6a + 5b) ⇔ 3b = 2a . (1)
6a + 5b 28
Suy ra b 2 .
Đặt
=
b 2t , t ∈  .

Vì ( a; b ) = 1 nên suy ra ( a; t ) = 1 . (2)
Thay b = 2t vào (1) có 3t = a . (3)
a = 3
.
Từ (2) và (3) suy ra t = 1 ⇒ 
b = 2
Bài 26. Cách 1: Ta có: A = 10n + 18n − 1 = (10n − 1) + 18n = 99...9
 + 18n = 9.11...1
 + 9.2n
n

n





= 9. 11...1
+
=
2
n
9.
11...1
−
n
+
3
n






 n

 n

Vì 11...1
 − n + 3n  3
 và n có cùng số dư khi chia cho 3 nên 11...1
 − n  3 nên 11...1
n

n

n



Do đó 9. 11...1
−
n
+
3
n


 n

Vậy A = 10n + 18n − 1 chia hết cho 27 ( n là số tự nhiên).
Cách 2: Ta có: A = 10n + 18n − 1 = (10n − 1) + 18n = 99...9
 + 18n = 9.11...1
 − 9n + 27 n
n

n



= 9. 11...1
−
n
 + 27 n .

 n

Vì 11...1
 − n  3 nên
 và n có cùng số dư khi chia cho 3 nên 11...1
n

n



n
= 9. 11...1
−
n
 + 27 n  27 Vậy A = 10 + 18n − 1 chia hết cho 27 ( n là số tự nhiên).

 n

LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN SĐT (ZALO): 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

15

Website:tailieumontoan.com
Cách 3:
+ Với n = 1 thì A= 101 + 18.1 − 1= 27  27
+ Giả sử n đúng tới n = k ⇒ A =10k + 18k − 1  27 .
+ Ta cần chứng minh n đúng với n= k + 1 .
Bài 27. Xét mẫu thức ta có :
2013 2012 2011
1
+
+
+ ... +
1
2
3
2013
 2012   2011 
 1

=1 + 
+ 1 + 
+ 1 + ... + 
+ 1
 2
  3

 2013 
2014 2014 2014
2014
=
+
+
+ ... +
2014
2
3
2013

1
1 
1 1
= 2014.  + + ... +
+

2013 2014 
2 3

⇒A

1 1 1
1
1 1 1
1
+ + + ... +
+ + + ... +
1
2=
3 4
2014
2 3 4
2014
=
2013 2012 2011
1
1  2014
1 1 1
+
+
+ ... +
2014.  + + + ... +

1
2
3
2013
2014 
2 3 4

Vậy A =

1
2014

a
a
>
(1) (do a, b, c là các số nguyên dương)
a+b a+b+c
b
b
>
(2)
b+c a+b+c
c
c
>
(3)
c+a a+b+c
Cộng từng vế của (1); (2); (3) ta được:

Bài 28. Ta có:

a
b
c
a
b
c
a+b+c
+
+
>
+
+
=
=⇒
1 M > 1 (I )
a+b b+c c+a a+b+c a+b+c a+b+c a+b+c
a
a+c
a
Ta có:
(4) (do
< 1; và a, b, c là các số nguyên dương)
<
a+b
a+b a+b+c
b
a+b
<
(5)
b+c a+b+c
c
b+c
<
(6)
c+a a+b+c
Cộng từng vế của (4); (5); (6) ta được:

LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN SĐT (ZALO): 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

16

Website:tailieumontoan.com
2(a + b + c)
a
b
c
a+c
a+b
b+c
+
+
<
+
+
=
=2 ⇒ M < 2 ( II )
a+b b+c c+a a+b+c a+b+c a+b+c
a+b+c

Từ (I) và (II) ⇒ 1 < M < 2
Vậy với a, b, c là các số nguyên dương tùy ý thì tổng M không là số nguyên dương
Bài 29.
a) Ta có:
1 
1 
1  
1  20 27 35
1325

. . ......
1 −  . 1 −  . 1 −  ... 1 −
=
1326
 21   28   36   1326  21 28 36
40 54 70
2650
(nhân cả tử và mẫu với
= . . .....
42 56 72
2652
2)
5.8 6.9 7.10
50.53
=
.
.
.....
6.7 7.8 8.9
51.52

=
=

b) Ta có:

( 5.6.7.....50 ) . (8.9.10.....53)
( 6.7.8.....51) . ( 7.8.9.....52 )
5 53 265
.
=
.
51 7 357

3
x 2 + 3 x − 1 x( x + 2) + ( x + 2 ) − 3
.
=
= x +1−
x+2
x+2
x+2

Vì x ∈  nên ( x + 1) ∈  .
Do đó để phân số đã cho có giá trị nguyên thì

3
có giá trị nguyên.
x+2

⇔ ( x + 2 ) ∈ Ư(3).
⇔ ( x + 2 ) ∈ {±1; ± 3} .
Ta có bảng:
x+2

−1

1

−3

3

x

−3 (t/m)

−1 (t/m)

−5 (t/m)

1 (t/m)

Vậy x ∈ {−5; − 3; − 1;1} .
Bài 30.Đặt: B = 1.2004 + 2.2003 + 3.2002 + ... + 2004.1
C = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 2004.2005
Ta có:
B = 1.2004 + 2.2003 + 3.2002 + ... + 2004.1
= 1.2004 + 2. ( 2004 − 1) + 3. ( 2004 − 2 ) + ... + 2004. ( 2004 − 2003)
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN SĐT (ZALO): 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

17

Website:tailieumontoan.com
= 1.2004 + 2.2004 − 1.2 + 3.2004 − 2.3 + ... + 2004.2004 − 2003.2004

=
=
=

(1.2004 + 2.2004 + 3.2004 + ... + 2004.2004 ) − (1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 2003.2004 )
2004. (1 + 2 + 3 + ... + 2004 ) − (1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 2003.2004 )
2004. (1 + 2 + 3 + ... + 2004 ) − (1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 2003.2004 ) + 2004.2005 − 2004.2005

= 2004. (1 + 2 + 3 + ... + 2004 + 2005 ) − (1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 2003.2004 + 2004.2005 )
2006.2005
− (1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 2003.2004 + 2004.2005 )
2
C = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 2004.2005
3C= 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + ... + 2004.2005.3

= 2004.

= 1.2.3 + 2.3 ( 4 − 1) + 3.4. ( 5 − 2 ) + ... + 2004.2005. ( 2006 − 2003)
= 1.2.3 + 2.3.4 − 2.3.1 + 3.4.5 − 2.3.4 + ... + 2004.2005.2006 − 2003.2004.2005

=

(1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + 2004.2005.2006 ) − (1.2.3 + 2.3.4 + ... + 2003.2004.2005)

= 2004.2005.2006
2004.2005.2006
.
⇒C =
3
2004.2005.2006 2004.2005.2006 2004.2005.2006
Khi đó: B =
−
=
2
3
6
2004.2005.2006
1
6
=
Suy ra : A =
2004.2005.2006 2
3
1
Vậy A =
2
1
2
3
98 99
Bài 31.
Đặt : A =
+
+
+ ... +
+
99 98 97
2
1

 1
  2
  3

 98   99 
A=  + 1 +  + 1 +  + 1 + ... +  + 1 +  + 1 − 99
 99   98   97 
 2
  1

100 100 100
100
=
+
+
+ ... +
+ (100 − 99 )
99
98 97
2
100 100 100
100 100
=
+
+
+ ... +
+
99
98 97
2 100
1
1
1
1
 1
= 100. 
+
+
+
+ ... + 
2
 100 99 98 97

LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN SĐT (ZALO): 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

18

Website:tailieumontoan.com
1 
1 1 1
= 100.  + + + ... +
.
100 
2 3 4
1 
1
2
3
98 99
1 1 1
+
+
+ ... +
+
 + + + ... +
 .x =
100 
99 98 97
2
1
2 3 4

1
2
3
98 99
+
+
+ ... +
+
99
98
97
2
1
x=
1 1 1
1
+ + + ... +
2 3 4
100
1 
1 1 1
100  + + + ... +

2 3 4
100 

x=
1 1 1
1
+ + + ... +
2 3 4
100
x = 100 .
Vậy x = 100 .
Bài 32. Ta có:
2 ( 3a + 4b + 5c ) + 3 ( 9a + b + 4c ) = 6a + 8b + 10c + 27a + 3b + 12c
= 33a + 11b + 22c= 11( 3a + b + 2c )

Ta thấy:

11( 3a + b + 2c )11

Theo bài ra: 3a + 4b + 5c 11
Suy ra: 9a + b + 4c 11
Bài 33. Giả sử 2n + 1 vả 4n 2 + 1 cùng chia hết cho số nguyên dương d .
Ta có 2n + 1 d
suy ra 2n ( 2n + 1) − ( 2n + 1) d ⇒ 4n 2 − 1 d .

Ta lại có 4n 2 + 1 d nên ( 4n 2 + 1) − ( 4n 2 − 1) d ⇒ 2 : d ⇒ d ∈ {1; 2} .
Do d là ước của số lẻ 2n + 1 nên d ≠ 2 .
2n + 1
Vậy d = 1 , tức là
là phân số tối giản.
4n 2 + 1
Bài 34.
Giả sử 2n + 3 và 3n + 7 cùng chia hết cho số nguyên dương d .
Ta có 2n + 3 d và 3n + 7  d nên

2 ( 3n + 7 ) − 3 ( 2n + 3) : d ⇒ 5 : d ⇒ d ∈ {1;5} . 

2n + 3
rút gọn được thì từ và mẫu phải chia hết cho 5 .
3n + 7
Ta có 2n + 3 : 5 ⇔ 2n + 3 − 5 : 5 ⇔ 2n − 2 : 5

Nếu phân số

⇔ 2 ( n − 1) : 5 ⇔ n − 1: 5 ⇔ n = 5k + 1( k ∈  ) .
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN SĐT (ZALO): 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

19

Website:tailieumontoan.com
Khi đó 3n + 7= 15k + 10 : 5 .
Do đó với n ≠ 5k + 1( k ∈  ) thì phân số

2n + 3
3n + 7

là phân số tối giản.
412 + 1
414 + 16
15
415 + 1
417 + 16
15
Bài 35. a) A =
;
.
⇒
16
A
=
=
1
+
=
⇒
=
=
B
B
16
1 + 14
14
14
17
17
17
4 +1
4 +1
4 +1
4 +1
4 +1
4 +1
15
15
Ta thấy 17
nên 16 A < 16 B .
< 14
4 +1 4 +1
Vậy A < B .
b)
2

3

1 3 3 3
3
A= + +   +   + ...  
2 2 2 2
2
2

3

4

2022

(1)

3
3 3 3 3
3
⇒ A= +   +   +   + ...  
2
4 2 2 2
2

2023

(2)

Lấy (2) – (1), ta được:
2023

1
5
3
=
A   −
2
4
2
32023 5
⇒ A= 2022 −
2
2
2023
3
32023 5 5
B− A
= 2022 − 2022 + =
2
2
2 2

CÁC BÀI TOÁN PHÂN LOẠI LỚP 7
Bài 36.

(x

2

− 1)( x 2 − 4 )( x 2 − 7 )( x 2 − 10 ) < 0 ⇔ ( x 4 − 11x 2 + 10 )( x 4 − 11x 2 + 28 ) < 0

⇔ ( x 4 − 11x 2 + 10 ) + 18 ( x 4 − 11x 2 + 10 ) < 0
2

Đặt: x 4 − 11x 2 + 10 =
t
Ta có:
Bất phương trình tương đương:
 t < 0
⇒ −18 < t < 0

t + 18 > 0 ⇒ t > −18
2

t + 18t < 0 ⇔ t ( t + 18 ) < 0 ⇔
 t > 0

( L)
 t + 18 < 0 ⇒ t < −18
⇒ −18 < x 4 − 11x 2 + 10 < 0
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN SĐT (ZALO): 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

20

Website:tailieumontoan.com

14

 2 11 3
x − > ⇒ x2 > = 7 ⇒ 7 > x > − 7
2


11  9

2 2
2
 x 4 − 11x 2 + 28 > 0 ⇒  x 2 −  − > 0 ⇒ 
2 4

 x 2 − 11 < − 3 ⇒ x 2 < 8 = 4 ⇒ −2 < x < 2

⇒
2
2
2


2
1 < x < `10
 4
11 9
−9
 2 11  81
2
11
10
0
x
x
x
−
+
<
⇒
−
< x 2 − < ⇒ 1 < x 2 < 10 ⇒ 

 − <0⇒

2
4
2
2 2

 − 10 < x < −1


(

⇒ x ∈ − 10; 10

)

x ∈  ⇒ x = ( −3; −2; −1;0;1; 2;3)
Vậy x = ( −3; −2; −1;0;1; 2;3) .
Bài 37.
3a − b + 2ab − 10 =
0
6a − 2b + 4ab − 20 =
0
2b ( 2a − 1) + 3 ( 2a − 1) − 17 =
0
 2a − 1= 1, 2b + 3= 17
⇔
 2a − 1 =−1, 2b + 3 =−17

( 2a − 1)( 2b + 3) = 17 ⇔ 

 a= 1, b= 7
 a =0, b =−10


Vậy cặp ( a; b ) cần tìm là: (1;7 ) , ( 0; −10 )
Bài 38.Tìm số tự nhiên x, y biết: 7 ( x − 2017 ) =
23 − y 2 .
2

7 ( x − 2017 ) ≥ 0, ∀x ∈ 
2

Ta có: ⇒ 23 − y 2 ≥ 0 ⇒ y ≤ 23, y ∈ *
⇒ y ∈ {0;1; 2;3; 4}

Th1: y =⇒
0 7 ( x − 2017 ) =
23 (loại)
2

Th2: y = 1 ⇒ 7 ( x − 2017 ) = 23 − 1 = 22 (loại)
2

Th3: y = 2 ⇒ 7 ( x − 2017 ) = 23 − 4 = 19 (loại)
2

Th4: y =
3 ⇒ 7 ( x − 2017 ) =
23 − 9 =
14 ⇒ ( x − 2017 ) =
2 (loại)
2

2

Th5: y =
4 ⇒ 7 ( x − 2017 ) =
23 − 16 =
7 ⇒ ( x − 2017 ) =
1
2

2

⇒
=
x 2016;
=
x 2018

Vậy x 2016;
=
=
x 2018;
=
y 4
a) Cho đa thức f ( x ) thỏa mãn f ( x ) + x. f ( − x ) = x + 1 với mọi giá trị của x . Tính f (1) .
Với x = 1 ta có: f (1) + 1. f ( −1) =1 + 1 ⇒ f (1) + f ( −1) =2 (*)
Với x = −1 ta có: f ( −1) − 1. f (1) =−1 + 1 ⇒ f ( −1) − f (1) =0 (**)
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN SĐT (ZALO): 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

21

Website:tailieumontoan.com
Thay (**) vào (*) ta được:
f (1) + f (1) =
2
2 f (1) = 2
f (1) = 1
1
Bài 39. Ta có xy =
−2. =
−1 .
2

A=
xy + ( xy ) 2 + ( xy ) 4 + ( xy )6 + ... + ( xy ) 2016 + ( xy ) 2018
= − 1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1 =
1007

Bài 40. M ( x ) = 0 với mọi x nên M ( 0 ) = 0 ⇔ c = 0 ⇒ M ( x ) = ax 2 + bx
M (1) = 0 ⇔ a + b = 0
M ( −1) = 0 ⇔ a − b = 0

Do đó a= b= 0
Vậy a= b= c= 0
Bài 41.
1.5.6 + 2.10.12 + 3.15.18 + 4.20.24 + 5.25.30 2 (1.3.5 + 2.6.10 + 3.9.15 + 4.12.20 + 5.15.25 )
= = 2
1.3.5 + 2.6.10 + 3.9.15 + 4.12.20 + 5.15.25
1.3.5 + 2.6.10 + 3.9.15 + 4.12.20 + 5.15.25
xy + yz + zx
1 1 1
Bài 42. A =
⇒ A= + +
xyz
x y z

Do x ≥ 3 ⇒

y ≥3⇒

1 1
−1
1
≤ ⇒
≤x≤
x 3
3
3

−1
1 1
1
≤ ⇒
≤y≤
y 3
3
3

1 1
−1
1
≤ ⇒
≤z≤
z 3
3
3
1 1 1
⇒ −1 ≤ + + ≤ 1
x y z
⇒ −1 ≤ A ≤ 1
Vậy A ≤ 1 dấu " = " xảy ra ⇔ x = y = z = 3 .
z ≥3⇒

2n − 1 2n − 6 + 5 2(n − 3) + 5
5
Bài 43.Ta có: A =
=
=
=−2 +
3−n
3−n
3−n
3−n
5
Để A nhận giá trị nguyên thì
∈  ⇒ 5 (3 − n) ⇒ (3 − n) ∈ Ư
3−n
(5) ={−1;1; −5;5} ⇒ n ∈ {4; 2;8; −2} .

Vậy x ∈ {−2; 2; 4;8} thì A nhận giá trị nguyên .
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN SĐT (ZALO): 039.373.2038

TÀI LIỆU TOÁN HỌC

22

Website:tailieumontoan.com
25 − y 2
2
2
Bài 44. Ta có 25 − y 2 =
(1).
8 ( x − 2005 ) ⇔ ( x − 2005 ) =
8
Vì x, y là các số nguyên dương và ( x − 2005 ) ≥ 0 nên (1) suy ra 0 < y ≤ 5 ;
2

25 − y 2 ∈ B ( 8 ) .
Ta lập bảng sau:
y
1

2

3

25 − y

24

21

3
X

2

( x − 2005)
x

2

5

16

4
9

X

2

X

0

X

X

X

2005

0

Vậy x 2005;
=
=
y 5 thỏa yêu cầu bài toán.
−1 2 3 −3 2
−1 −3
3 8 6
Bài 45.
Có:
=
x y . xy .16 x 5 y =
. .16. ( x 2 .x.x 5 ) . ( y 3 . y 2 . y )
x y
2
4
2 4
2
−1 2 3 −3 2
3
Vì x8 ≥ 0; y 6 ≥ 0 nên x8 y 6 ≥ 0 hay ba đơn thức
x y ;
xy ; 16x 5 y không thể cùng có giá
2
2
4
trị âm.
4− x
2
.
Bài 46. Ta có: A =
=−1 +
x−2
x−2
Để A nhỏ nhất thì x − 2 phải có giá trị lớn nhất và x − 2 < 0 ⇒ x − 2 =−1 ⇒ x =1 .
2
Khi đó A =−1 +
=−3 .
−1
Vậy min A = −3 khi x = 1 .
Bài 47. Gọi A là vị trí chân thang, B là chân tường nhà và C là vị trí đỉnh thang.
Khi đó khoảng cách từ mặt đất lên mái nhà chính là độ dài ...