https://thuviensach.vn

LATEX: Hàn Ngọc Đức

80 BÀI TOÁN THÔNG MINH
(Dùng cho học sinh phổ thông các cấp và các bậc cha mẹ học sinh)

KoreaGerman
Version: 1.2
Hà Nội - 2012
Cuốn sách nhỏ này gồm 80 bài toán thông minh, được chọn lựa điển hình các dạng loại phong phú
như toán suy luận, trò chơi, đố mẹo, ... dùng cho học sinh phổ thông cả 3 cấp. Nó giúp các em rèn
luyện trí thông minh, khả năng tư duy sáng tạo, kích thích sự hứng thú say mê trong học tập, nhất là
trong học tập bộ môn Toán.
Các bài toán ở đây dành cho cả học sinh và người lớn. Trong phạm vi gia đình, nó có thể giúp cho
sinh hoạt giải trí giữa bố mẹ và con cái. Trong nhà trường có thể phục vụ cho đông đảo các đối tượng
học sinh, đồng thời cũng có thể phục vụ cho các lớp chuyên toán, dùng cho các kỳ thi toán vui-chọn
học sinh thông minh tư duy nhanh, hoặc các buổi ngoại khóa. Để giải chúng, không đòi hỏi bạn đọc
phải có một kiến thức toán học đặc biệt nào.
Các bài toán trong quyển sách này được sưu tập chọn lựa từ nhiều nguồn khác nhau - Một phần từ các
sách, tạp chí trong nước, phần lớn từ các tài liệu nước ngoài - trong đó có nhiều bài không rõ đã xuất
hiện lần đầu ở đâu, bao giờ và do ai đưa ra nhưng đã trở nên phổ biến ở nhiều nước trên thế giới. Để
tiện cho việc sử dụng của đông đảo bạn đọc, hầu hết các bài đã việt hóa các tên riêng.
Đồng chí Nguyễn Mạnh Trinh - Phó tiến sĩ logic toán, công tác tại Vụ đào tạo Bồi dưỡng, Bộ Giáo dục đã giúp cho việc hiệu đính cuốn sách. Tuy nhiên, đây mới là sự thử nghiệm sưu tập, biên soạn bước đầu
loại toán này, chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự góp ý của các bạn đọc.
Người biên soạn.

BA NHÀ THÔNG THÁI
Có ba nhà triết gia Hy-Lạp cổ, sau một cuộc tranh luận căng thẳng và cũng vì trời hè nóng nực nên đã nằm
ngủ dưới gốc cây trong vườn của Viện Hàn lâm. Có mấy thợ thông lò đi qua tinh nghịch đã bôi nhọ lên trán
cả ba triết gia.
Khi ba nhà thông thái tỉnh dậy, họ nhìn nhau và cùng phá lên cười. Ai cũng yên chí rằng chỉ có hai người
kia bị nhọ và họ cười nhau, còn mình thì cười họ. Thế nhưng, trong khoảnh khắc, một triết gia không cười
nữa vì ông ta suy đoán ra trên trán ông ta cũng bị nhọ.
Vậy nhà thông thái đó suy luận như thế nào?
https://thuviensach.vn

HAI CHỊ EM SINH ĐÔI
Ở thành phố T có một cặp sinh đôi khá đặc biệt. Tên hai cô là Nhất và Nhị. Những điều ly kỳ về hai
cô lan truyền đi khắp nơi. Cô Nhất không có khả năng nói đúng vào những ngày thứ hai, thứ ba và thứ
tư, còn những ngày khác nói đúng. Cô Nhị nói sai vào những ngày thứ ba, thứ năm và thứ bảy, còn
những ngày khác nói đúng.
Một lần tôi gặp hai cô và hỏi một trong hai người:
Cô hãy cho biết, trong hai người cô là ai?
Tôi là Nhất.
Cô hãy nói thêm, hôm nay là thứ mấy?

Hôm qua chủ nhật. Cô kia bỗng xem vào:
Ngày mai là thứ sáu.
Tôi sững sờ ngạc nhiên-Sao lại thế được?-và quay sang hỏi cô đó:
Cô cam đoan là cô nói thật chứ?
Ngày thứ tư tôi luôn luôn nói thật - cô đó trả lời.
Hai cô làm tôi lúng túng thực sự, nhưng sau một hồi suy nghĩ tôi đã xác định được cô nào là cô Nhất, cô
nào là cô Nhị, thậm chí còn xác định được ngày hôm đó là thứ mấy.
Mời bạn hãy thử làm xem.

CỤ GIÀ NÓI THẦM ĐIỀU GÌ?

https://thuviensach.vn

Có hai chàng trai Kozak là Grisko và Oponos đều là những kỵ sỹ tài ba. Trong các cuộc thi khi người này,
khi thì người kia thắng, nhưng ai
phi ngựa nhanh hơn, các cuộc tranh luận đều không phân giải được. Cuối cùng Grisko đề nghị một cuộc
thi: Ngựa của ai về sau thì người đó thắng. Oponos chấp thuận.
Cuộc thi như vậy được tổ chức, người xem khá đông. Khi trọng tài nổ súng phát hiệu lệnh thì lạ thay: cả
hai kỵ sỹ đều chỉ đứng nguyên ở vị trí xuất phát. Khán giả chờ đợi, hò hét huyên náo. Xem ra cuộc thi
không bao giờ chấm dứt.
Vừa lúc đó có một cụ già tóc bạc đi tới. Thấy chuyện lạ, cụ hỏi, người ta nói cho cụ hiểu thì cụ lớn tiếng
nói:
- Xin quý khán giả hãy bình tĩnh, tôi sẽ nói thầm một điều với cả hai kỵ sỹ thì họ sẽ phi như bay về đích
cho mà xem.
Quả vậy, cụ già gọi hai chàng trai đến bên cụ, cầm lấy tay họ và nói thầm vào tai từng người. Khi cụ bỏ tay
họ ra thì cả hai kỵ sỹ đều chạy như bay tới ngựa, nhảy lên và phóng như bay về đích.
Cuối cùng, người thắng vẫn là người có ngựa về sau.
Vậy cụ già đã nói thầm điều gì với cả hai kỵ sỹ?

DU KHÁCH ĐANG Ở ĐÂU?
Có một du khách đến một trong hai thành phố A, B của một đất nước tuyệt đẹp. Người thành phố A luôn
luôn nói thật, người thành phố B luôn luôn nói dối. Trong thành phố A có một số dân của thành phố B và
ngược lại.
Bạn hãy suy nghĩ xem người khách cần phải đặt câu hỏi như thế nào khi gặp người đầu tiên để từ
câu trả lời có thể biết được mình đang ở đâu?

QUÂN XANH, QUÂN ĐỎ
Tiến hành một trò chơi, các em thiếu niên chia làm hai đội: quân xanh và quân đỏ. Đội quân đỏ bao giờ
cũng nói đúng, còn đội quân xanh bao giờ cũng nói sai.
Có ba thiếu niên đi tới là An, Dũng và Cường. Người phụ trách hỏi An: "Em là quân gì?". An trả lời
không rõ, người phụ trách hỏi lại Dũng và Cường: "An đã trả lời thế nào?". Dũng nói "An trả lời bạn
ấy là quân đỏ", còn Cường nói: "An trả lời bạn ấy là quân xanh".
Hỏi Dũng và Cường thuộc quân nào?

ĐẠO LUẬT TÀN ÁC
Ở một vương quốc nọ có ông vua tàn ác. Ông ta không muốn người lạ vào lãnh thổ của mình nên ra
lệnh cho tất cả các lính biên phòng phải thi hành một đạo luật sau:

https://thuviensach.vn

Bất kỳ một người nước khác lọt tới đều phải trả lời câu hỏi: "Vì sao anh tới đây?". Nếu người đó trả lời
đúng thì đem dìm xuống nước, nếu trả lời sai thì đem treo cổ.
Một lần, có một người nông dân nước láng giềng vô tình đến một trạm biên phòng. Người lính ra câu hỏi:
"Vì sao anh tới đây?" và chuẩn bị hành tội anh ta.
Thế nhưng người nông dân thông minh đó đã trả lời một câu mà người lính biên phòng không thể xác định
được đúng hay sai để hành tội anh ta theo đạo luật của nhà vua.
Vậy người nông dân đó đã trả lời như thế nào?

BỨC CHÂN DUNG AI?
Người ta hỏi Trung: "Bức ảnh trên tường là chân dung ai?". Trung trả lời: "Bố của người đó là người con
trai duy nhất của ông bố người đang trả lời các bạn".
Hỏi người trong ảnh là chân dung ai?

ANH THỢ CẠO TRONG THÔN
Người ta đưa ra một định nghĩa về anh thợ cạo trong thôn như sau:
"Gọi người đàn ông trong thôn là thợ cạo nếu anh ta cắt tóc cho tất cả những người trong thôn không
tự cắt lấy".
Hỏi: Với định nghĩa như vậy anh thợ cạo có tự cắt tóc cho mình hay không? Trả lời:
Nếu anh thợ cạo tự cắt cho mình thì mâu thuẫn với định nghĩa là anh ta chỉ cắt cho những ai không tự
cắt lấy.
Nếu anh thợ cạo không tự cắt cho bản thân anh ta thì cũng theo định nghĩa anh ta phải cắt cho anh ta,
vẫn mâu thuẫn.
Bạn hãy xác định xem mâu thuẫn nảy sinh từ đâu?

THÀNH CÔNG CỦA TUỔI TRẺ
Tôi chơi cờ cũng khá nhưng hai người bạn thân của tôi là những tay cờ tuyệt diệu. Tôi chơi với mỗi
người một ván và cả hai thắng tôi một cách dễ dàng. Có một người bạn nhỏ của tôi - mới 10 tuổi - chỉ
mới biết các quy tắc chơi cờ nhưng lại cả quyết rằng sẽ chơi tốt hơn tôi. Để chứng tỏ điều đó cậu ta
ra điều kiện:
"Tôi sẽ chơi cùng một lúc với cả hai người bạn của anh trên hai bàn cờ và chắc chắn tôi sẽ đạt kết
quả tốt hơn anh là không thua cả hai người".
Ta có thể giải thích sự thành công của người bạn nhỏ như thế nào?

NÓI TIÊN TRI

https://thuviensach.vn

Trước đây ở một nước Á đông có một ngôi đền thiêng do ba thần ngự trị: Thần Sự Thật (luôn luôn nói
thật), thần Lừa Dối (luôn luôn nói dối)
và thần Mưu Mẹo (lúc nói thật, lúc nói dối). Các thần ngự trên bệ thờ sẵn sàng trả lời khi có người tới
thỉnh cầu. Nhưng vì hình dạng của các thần hoàn toàn giống nhau nên người ta không biết thần nào trả lời
để mà tin hay không tin. Một triết gia từ xa đến, để xác định các thần, ông ta hỏi

thần bên trái:
Ai ngồi cạnh ngài?
Đó là thần Sự Thật - thần bên trái trả lời. Tiếp theo ông ta hỏi thần ngồi giữa:
Ngài là thần gì?
Ta là thần Mưu Mẹo.
Sau cùng, ông ta hỏi thần bên phải:
Ai ngồi cạnh ngài?
Đó là thần Lừa Dối - thần bên phải trả lời. Người triết gia kêu lên:
Tất cả đã rõ ràng, các thần đều đã được xác định.
Vậy nhà triết gia đó đã xác định các thần như thế nào?

NGƯỜI THÔNG MINH NHẤT
Người ta tiến hành chọn người thông minh nhất trong ba học sinh đạt giải ở một cuộc thi học sinh giỏi toán
bằng cách sau:
https://thuviensach.vn

Đem đến 5 chiếc mũ: 3 mũ trắng, 2 mũ đen. Bịt mắt cả ba học sinh và đội lên đầu mỗi người một mũ. Hai
mũ còn lại đem cất đi.
Khi bỏ băng bịt mắt người ta tuyên bố: "Người đầu tiên nói được mình đội mũ gì là người thông minh
nhất". Ba học sinh im lặng quan sát lẫn nhau, lát sau, một học sinh nói được anh ta đội mũ màu trắng
và anh ta thắng cuộc.
Vậy anh ta đã suy luận thế nào để xác định được màu mũ trên đầu anh
ta?

THỬ TÀI ĐOÁN MŨ
Ba bạn An, Minh, Tuấn ngồi theo hàng dọc: Tuấn trên cùng và An dưới cùng. Tuấn và Minh không
được nhìn lại phía sau. Lấy ra 2 mũ trắng, 3 mũ đen và đội lên đầu mỗi người một mũ, 2 mũ còn lại
đem cất đi (2 mũ này ba bạn không nhìn thấy).
Khi được hỏi màu mũ trên đầu mình, An nói không biết, Minh cũng xin chịu. Dựa vào biểu hiện
của An và Minh liệu Tuấn có thể xác định được màu mũ trên đầu mình hay không?

CHỌN HOÀNG THÁI TỬ
Có một ông vua đã già nhưng không có người kế thừa. Thấy mình không còn sống được bao lâu nữa,
ông bắt đầu chọn Hoàng Thái Tử có năng lực.
Một hôm, có bốn chàng trai tài giỏi nhất Vương quốc đến ra mắt đức vua. Nhà vua tiến hành lựa chọn
như sau:
Khi đã bịt mắt bốn chàng trai và để ngồi trên một ghế tròn, nhà vua
nói: "Ta sẽ đặt lên đầu mỗi người một mũ miện vàng hoặc bạc. Khi bỏ khăn bịt mắt cho các người, ai nhìn
thấy số mũ miện vàng nhiều hơn hãy đứng lên và đứng đó cho tới khi có người nói được trên đầu mình mũ
miện gì. Ai nói được sẽ là người thừa kế của ta".
Khăn bịt mắt được bỏ ra, các chàng trai nhìn nhau và đều đứng lên.
Sau hồi lâu, một người kêu lên:
- Thưa Đế vương, trên đầu con là mũ miện vàng.
Anh ta đã suy đoán đúng. Vậy nhà vua đã đặt những mũ miện gì lên đầu các chàng trai và chàng
trai thông minh đó đã suy luận thế nào để biết được mũ miện trên đầu mình?

CHUYỆN LY KỲ TRÊN TÀU HỎA
Tàu hỏa chạy qua một đường ngầm, khói bay vào toa làm một số hành khách bị nhọ mặt. Vì trong toa không
có gương và trong suốt cuộc hành trình hành khách không nói chuyện với nhau nên không ai biết mặt mình
https://thuviensach.vn
có bị nhọ hay không.

Người kiểm vé đi qua thấy vậy nói: "Rất tiếc, một số hành khách trong toa đã bị nhọ mặt. Chỉ những hành
khách bị nhọ mới được rửa mặt và phải rửa vào lúc tàu dừng ở các ga".
Sau lần đỗ thứ tư thì trên toa mới không còn hành khách bị nhỏ (sau lần đỗ thứ ba vẫn còn). Hỏi trong
toa có bao nhiêu người bị nhọ và những người bị nhọ đã suy luận thế nào để biết được mình bị nhọ?
Hãy giải bài toán với những điều kiện sau:
1. Hành khách chỉ đi rửa khi biết chắc chắn mình bị nhọ và đi rửa ngay sau khi tàu dừng.
2. Khi tàu dừng, ở chỗ rửa bao nhiêu người rửa cũng được.
3. Từ quan sát, nói chung các hành khách đều biết suy đoán đúng.

NGƯỜI QUEN TRONG HỘI NGHỊ
Trong hội nghị mỗi người có một số người quen nhất định, người A quen người B thì người B cũng quen A.
Hãy chứng minh rằng số người có số lẻ người quen là một số chẵn.

NHÓM 6 NGƯỜI
Hãy chứng tỏ rằng trong một nhóm 6 người bất kỳ luôn luôn có: hoặc 3 người quen nhau từng đôi một,
hoặc 3 người không quen nhau từng đôi (mỗi người đều không quen cả 2 người kia).

CHỈ CÓ MỘT NGƯỜI QUEN
Trong hội nghị học sinh giỏi toán toàn quốc người ta nhận thấy điều lý thú sau đây:
Trong hội nghị có rất nhiều người quen biết nhau, nhưng nếu hai người nào đó có cùng số người quen
thì không có chung một người quen nào cả.
Bạn hãy chứng tỏ rằng trong hội nghị này có ít ra một đại biểu chỉ có duy nhất một người quen.

THÔNG BÁO CỦA THƯ VIỆN
Một thư viện mở thông tầm, có nhiều bạn đọc, mỗi người chỉ đến một lần trong ngày. Bất kỳ ba người
nào đến thư viện cùng ngày cũng có hai người gặp nhau trong thư viện.
Người phụ trách thư viện muốn chọn hai thời điểm trong ngày để truyền đạt một thông báo trực tiếp tới tất
cả bạn đọc đã đến thư viện trong ngày đó. Liệu có thể chọn được không?
Bạn hãy giúp người phụ trách thư viện giải quyết vấn đề trên.

THI ĐẤU BÓNG BÀN
Ở một cuộc thi đấu bóng bàn mỗi vận động viên đều phải đấu với tất cả các vận động viên khác, và mỗi
https://thuviensach.vn

cặp đấu đều phân định người thắng, người thua.
Bạn hãy chứng tỏ rằng có một vận động viên khi nhắc đến tên các vận động viên thua mình và tên
các vận động viên thua các vận động viên thua mình thì bao gồm tất cả các vận động viên khác.

XĂNG VÀ DẦU
Có một can xăng và một can dầu. Lấy 1 kg từ can xăng rót vào can dầu, sau đó lại lấy 1kg dầu (đã trộn
xăng) đổ vào can xăng. Làm như vậy ba lần.
Hỏi lượng xăng (trọng lượng) ở can dầu nhiều hơn hay lượng dầu ở can xăng nhiều hơn?

BÁC LOAN, BÉ HẰNG VÀ BÀ HẠNH
Khi bác Loan bằng tuổi bé Hằng thì bà Hạnh bằng tuổi bác Loan và bé Hằng bây giờ cộng lại.
Hỏi bác Loan bao nhiêu tuổi khi bà Hạnh bằng tuổi bác Loan bây giờ?
Ghi chú: Ta coi tuổi là những số nguyên.

TUỔI BA CHÀNG TRAI
Tuổi của Trung sẽ nhiều gấp đôi tuổi của Tùng khi mà tuổi của Nghĩa sẽ bằng tuổi của Trung bây giờ.
Hỏi giữa các chàng trai ai là người nhiều tuổi nhất, ai là người ít tuổi nhất?

CÓ BAO NHIÊU CHÀNG TRAI?
Trong một lớp học mọi học sinh nam đều tham gia vào những nhóm sở thích: Bóng đá, bóng chuyền và cầu
lông. Qua tìm hiểu thấy rằng: Có 7 em tham gia bóng đá, 6 em bóng chuyền, 5 em cầu lông, 4 em vừa bóng
đá vừa bóng chuyền, 3 em vừa bóng đá vừa cầu lông, 2 em vừa bóng chuyền vừa cầu lông, 1 em tham gia
cả ba nhóm sở thích.
https://thuviensach.vn

Vậy trong lớp học có bao nhiêu chàng trai?

BA MÔN THỂ THAO
Một lớp học có 25 học sinh, trong đó có 13 em tập bơi, 17 em tập đua xe đạp và 8 em tập bóng bàn, không
có em nào tập cả 3 môn thể thao.
Các em tập ít ra một môn thể thao đều đạt trung bình hoặc khá về xếp loại môn toán. Tuy vậy vẫn có 6 em
của lớp xếp loại yếu-kém về bộ môn này (Môn toán được xếp loại theo 4 mức: giỏi, khá, trung bình, yếukém).

Hỏi trong lớp có bao nhiêu em học sinh đạt loại giỏi về môn toán? Bao nhiêu em vừa tập bơi vừa
tập bóng bàn?

HỘI ĐỌC BÁO
Các thành viên của hội đọc báo trao đổi với nhau xem ai đặt mua những tạp chí nào. Qua trao đổi
thấy rằng: mỗi người đều đặt mua 2 tạp chí, mỗi loại tạp chí đều có 3 người mua, bất kỳ 2 tạp chí nào
cũng có 1 người đặt mua.
https://thuviensach.vn

Bạn hãy tính xem hội đọc báo có bao nhiêu thành viên và họ đặt mua bao nhiêu loại tạp chí?

NHÃN HIỆU NÓI DỐI
Trong 3 ngăn kéo đóng mỗi ngăn đều có 2 bóng bàn. Một ngăn chứa hai bóng trắng, một ngăn chứa hai
bóng đỏ và ngăn còn lại chứa 1 bóng trắng, 1 bóng đỏ.
Có 3 nhãn hiệu: Trắng-Trắng, Đỏ-Đỏ và Trắng-Đỏ, đem dán bên ngoài mỗi ngăn một nhãn nhưng đều sai
với bóng trong ngăn.
Hỏi phải rút ra từ ngăn có nhãn hiệu nào để chỉ một lần rút 1 bóng (và không được nhìn vào trong
ngăn) có thể xác định được các bóng chứa trong mỗi ngăn?

CHỈ MỘT LẦN CÂN
Tình cờ có 10 ví đựng tiền, trong mỗi ví đều đựng 10 đồng tiền giống hệt nhau và giống như các ví khác.
Có 1 ví đựng toàn tiền giả. Các đồng tiền thật nặng 10 gam, còn các đồng tiền giả nặng hơn đúng 1 gam.
Với một lần cân có quả cân, bằng cách nào có thể chỉ ra ví đựng tiền giả?

TÌM ĐỒNG TIỀN GIẢ
Trong 27 đồng tiền giống hệt nhau có 1 đồng tiền giả nhẹ hơn các đồng tiền thật (các đồng tiền thật có
trọng lượng như nhau).
Với một chiếc cân đĩa và chỉ 3 lần cân hãy lấy ra đồng tiền giả.

BẰNG BA LẦN CÂN
Giả thiết đồng tiền giả hoặc nặng hơn, hoặc nhẹ hơn đồng tiền thật. Với một chiếc cân đĩa và không dùng
quả cân, bằng 3 lần cân hãy tìm ra đồng tiền giả và xác định xem nó nặng hơn hay nhẹ hơn đồng tiền thật
trong hai trường hợp sau:
1. Đồng tiền giả nằm trong 8 đồng tiền giống hệt nhau.
2. Đồng tiền giả nằm trong 12 đồng tiền giống hệt nhau.

TÌM PHẾ PHẨM
Trong 5 sản phẩm có 4 sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật và có trọng lượng như nhau, còn 1 sản phẩm là
phế phẩm, nó nặng hơn hoặc nhẹ hơn so với sản phẩm đạt tiêu chuẩn. Ngoài ra còn có thêm 1 sản phẩm
mẫu (trọng lượng như sản phẩm đạt tiêu chuẩn).
Với 1 cân đĩa và không dùng quả cân, hãy tìm ra phế phẩm bằng 2 lần cân.

CẦN BAO NHIÊU QUẢ CÂN?
https://thuviensach.vn

Cần ít nhất bao nhiêu quả cân và những quả cân như thế nào để cân được các vật có trọng lượng nguyên từ
1kg đến 100kg?

GIẤC MƠ CỦA NGƯỜI BÁN HÀNG
Một người bán hàng do cảm kích sau khi xem một vở kịch của Phaoxtơ ở nhà hát - đã có một giấc mơ trong
khi ngủ như sau:
"... Người bán hàng đứng sau quầy hàng, trên đó có thùng chè khô, một cân đĩa và vài tờ giấy gói to.
Tuyệt nhiên không có những quả cân. Làm sao bây giờ? - Người bán hàng nghĩ. Nếu bất ưng có khách
đến mua
chè, hẳn là mình phải tránh anh ta thôi!. Cùng lúc đó, một gã lái tàu biển xuất hiện, áo đỏ với một chiếc
khuy cài lớn.
Hãy cân cho ta một cân chè - gã nói một cách dọa dẫm.
Ô... Ngay sau đây tôi sẽ mang đến cho ông... Hôm nay trời đẹp quá, không quá nóng phải không ông?

Đừng có đánh trống lảng - gã lái tàu la mắng - hãy cân chè mau đi.
Xin ông thứ lỗi... Chỉ một sơ suất... đây là lần đầu, những quả cân còn đang đem thử lại.
Vô lý, thế đĩa cân thế nào, có bên nào đựng được nước không? - gã lái tàu hỏi.
Bên phải chứa được 500 gram nước, bên trái hoàn toàn bằng phẳng.
https://thuviensach.vn
Thế thì tuyệt - vừa nói gã vừa lấy ra một chai nước - trọng lượng chai không biết, nhưng nó chứa

đúng 300 gram nước. Cái khuy cài này nặng 650 gram. Lấy chai nước và cái khuy cài mà cân sẽ được
đúng 1 cân chè, đúng 1 cân chè không kể giấy gói.
Thế thì không thể được - người bán hàng kêu lên.
Hoàn toàn có thể được - gã lái tàu quát to bực tức..." - làm người bán hàng bừng tỉnh giấc.
Sau khi bình tĩnh suy nghĩ, người bán hàng thấy gã lái tàu nói đúng.
Vậy cần phải cân như thế nào?

CÁC VẬT ĐỰNG GÌ?
Có một chai, một vại to, một cốc, một chén và một vại thấp được xếp thành dãy theo thứ tự đó (Hình 1).
Đựng các thứ nước khác nhau là: nước

Hình 1:
chè, cà phê, ca cao, sữa và bia.
Nếu đem chiếc chén đặt vào giữa vật đựng chè và vật đựng sữa thì vật đựng chè và vật đựng ca cao sẽ
cạnh nhau, vật đựng chè sẽ thay đổi thứ tự và vật đựng cà phê ở giữa.
Hãy xác định loại nước đựng trong các vật.

TRÒ CHƠI BỐC DIÊM (I)
Có 26 que diêm, hai người chơi lần lượt bốc, mỗi lần bốc từ 1 đến 4 que. Người phải bốc que cuối cùng
là người thua cuộc.
Hãy tìm cách chơi cho người đi sau để người đó luôn luôn thắng cuộc.

TRÒ CHƠI BỐC DIÊM (II)
Có 27 que diêm, hai người chơi lần lượt nhặt diêm vào tay mình, mỗi lần đi nhặt ít nhất 1 que và
nhiều nhất là 4 que. Sau khi nhặt hết diêm, trong tay ai có số diêm chẵn thì thắng cuộc.
Người đi trước phải có cách chơi như thế nào để luôn luôn thắng cuộc?

TRÒ CHƠI TIẾN QUÂN
https://thuviensach.vn

Trên bàn có 2 × m ô (Hình 2)
A B
Hình 2:
A và B chơi với nhau, A có 2 quân trắng ở một đầu, B có 2 quân đen ở đầu kia, lần lượt mỗi người
mang 1 trong 2 quân về phía đối phương, được phép đi qua một số tùy ý, nhưng ít nhất là 1 ô và
không được vượt qua quân của đối phương. Cuối cùng người nào không còn ô để đi tiếp là thua.
Bạn hãy tìm cách chơi cho người đi sau để người đó luôn luôn thắng cuộc.

NGỰA TRÊN BÀN CỜ
Trên bàn cờ vua (8 × 8 ô), con ngựa có thể di chuyển từ ô góc dưới bên trái tới ô góc bên phải sao
cho mỗi ô của bàn cờ ngựa đi qua đúng 1 lần được hay không?

CHUYỂN QUÂN TRÊN BÀN CỜ
Trên bàn cờ vua lấy 50 ô tùy ý và đánh số từ 1 đến 50. Lấy 50 quân cờ cũng đánh số từ 1 đến 50 và đặt tùy
ý mỗi quân vào 1 ô của bàn cờ. Ta gọi 1 lần chuyển là việc đưa 1 quân cờ từ 1 ô tới 1 ô trống nào đó.
Hãy chứng tỏ rằng tối đa chỉ cần 75 lần chuyển sẽ đưa được 50 quân cờ về các ô có số tương
ứng.

TRÒ CHƠI SẮP XẾP LẠI QUÂN CỜ
Có 4 quân cờ trắng và 4 quân cờ đen được sắp xen kẽ nhau thành hàng ở 8 ô kề nhau (Hình 3) Hai quân cờ
cạnh nhau có thể cùng rời vị trí đến
https://thuviensach.vn

Hình 3:
vị trí khác sao cho thứ tự giữa chúng không đổi và giữa chúng không xuất hiện ô trống.
Bằng 4 lần chuyển đổi như vậy liệu có thể đưa cả 4 quân cờ đen về một bên và 4 quân cờ trắng về một bên
được hay không?
Hình 4:

SẮP QUÂN TRÊN BÀN CỜ
Trong 64 ô của bàn cờ có đánh dấu 16 ô sao cho mỗi hàng, mỗi cột của bàn cờ có đúng 2 ô được đánh
dấu.
Chứng minh rằng có thể đặt 8 quân cờ trắng và 8 quân cờ đen vào các ô đã đánh dấu sao cho mỗi dòng,
mỗi cột của bàn cờ có đúng 1 quân cờ trắng và 1 quân cờ đen.

TRÒ CHƠI "THÁP HÀ NỘI"
Trên một tấm gỗ có gắn 3 cọc A, B, C. Ở cọc A có xếp 5 khoanh gỗ, khoanh to bên dưới, khoanh nhỏ ở
trên (Hình 5). Bạn hãy chuyển 5 khoanh
A B C
Hình 5: Trò chơi tháp Hà Nội
này sang cọc B với điều kiện: Trong khi chuyển không bao giờ bạn được xếp khoanh to lên trên khoanh bé.
Bạn được sử dụng cọc C làm cọc phụ. Mỗi lần di chuyển 1 khoanh gỗ từ cọc này sang cọc khác được kể là
một "lượt".
Vậy muốn di chuyển cả 5 khoanh từ cọc A sang cọc B thì số lượt cần thiết ít nhất là bao nhiêu?

CÁC NGÔI SAO TRÊN VÒNG TRÒN
Có 12 ô trên vòng tròn, trong đó 4 ô cạnh nhau đặt các ngôi sao đỏ, vàng, trắng, xanh. Mỗi ngôi sao
đều có thể di chuyển theo hướng bất kỳ từ ô nó đang nằm qua 4 ô tới ô thứ năm nếu là ô trống.
Sau một số lần di chuyển, mỗi ngôi sao lại quay về vị trí của 1 trong 4 ô ban đầu (không hẳn về đúng ô ban
đầu của nó).
Bạn hãy xét xem các sao sẽ được sắp xếp lại như thế nào?

MỘT CUỘC KÉO CO
Bốn học sinh là An, Ba, Nam, Việt thi kéo co xem ai khỏe nhất, thứ hai, thứ ba và yếu nhất. Bạn hãy xác
định điều đó qua kết quả 3 lần kéo sau đây:
https://thuviensach.vn

Dù khó khăn nhưng Ba vẫn thắng An và Nam gộp lại (1)
Khi một đầu là An và Ba, đầu kia là Việt và Nam thì kết quả không phân thắng bại (2)
Từ lần (2), nếu An và Nam đổi chỗ cho nhau thì cặp Việt-An thắng một cách dễ dàng (3).

CÁC VẬN ĐỘNG VIÊN THỂ THAO
Trong một cuộc thi thể thao, đoạt các giải đầu là các vận động viên mang áo số 1, 2, 3 và 4, nhưng không
có ai số áo trùng với thứ tự của giải.
Hãy xác định thứ tự giải của các vận động viên, biết rằng: vận động viên đoạt giải tư có số áo
trùng với thứ tự giải của vận động viên có số áo như thứ tự giải của vận động viên mang áo số 2.
Vận động viên mang áo số 3 không đoạt giải nhất.

MỖI NGƯỜI THẮNG MẤY VÁN?
Hai học sinh thỏa thuận với nhau một quy ước về chơi bài như sau:
Chơi 10 ván không kể những ván hòa.
Sau mỗi ván, người thắng được 1 điểm, nhưng nếu số quân ăn được nhiều hơn thì được 2 điểm.
Người thắng cuộc là người được nhiều điểm hơn.
Sau cuộc chơi kết quả B thắng. Hai người được cả thảy 13 điểm, nhưng số ván thắng của B ít hơn của A.
Hỏi mỗi người thắng mấy ván?

BA CẶP CƯỚI CHUNG

https://thuviensach.vn

Ba cô gái là Hoa, Hạnh, Vân và ba chàng trai là Phương, Minh, Tuấn cùng làm ở một cơ quan nên họ tổ
chức đám cưới chung cho vui vẻ.
Bạn hãy xác định các cặp vợ chồng qua các dữ kiện sau:
Tuấn là anh trai Hoa,
Tuấn nhiều tuổi hơn Minh, Vân lớn tuổi nhất trong ba cô gái,
Tuổi của mỗi người đều khác tuổi của những người kia. Tuy vậy, tổng số tuổi của 2 người trong mỗi
cặp là như nhau.
Tuổi của Minh và Hạnh cộng lại bằng tổng số tuổi của Phương và Hoa.

CÓ BAO NHIÊU GIA ĐÌNH
Điều tra những gia đình cùng sống trong một tòa nhà, người ta nhận thấy:
Gia đình nào cũng có con. Các người con đều chưa lập gia đình. Mỗi gia đình đều có đủ bố và mẹ. Không
có những gia đình có số con như nhau. Con cái đông hơn bố mẹ. Bố mẹ nhiều hơn số con trai. Con trai
nhiều hơn con gái. Con gái nhiều hơn số gia đình. Mỗi con gái đều có ít ra một anh trai hay em trai và
nhiều nhất một chị hay em gái. Có một gia đình có số con nhiều hơn tổng số con của các gia đình còn lại.
Hỏi có bao nhiêu gia đình sống trong tòa nhà? Có mấy con trai, mấy con gái trong mỗi gia đình?

BÁO CÁO THIẾU SỰ THẬT
Trong mỗi tòa nhà chỉ có những cặp vợ chồng và những con nhỏ chưa lập gia đình. Ban điều tra dân số yêu
cầu báo cáo về số người sống trong tòa nhà, đại diện là một anh thợ thích đùa đã báo cáo như sau:
Sống trong tòa nhà bố mẹ nhiều hơn con cái. Mỗi con trai đều có một chị hay em gái. Số con trai nhiều hơn
số con gái. Mỗi cặp vợ chồng đều có con.
Người ta không thể chấp nhận được báo cáo đó (dù là đùa vui) vì trong đó có mâu thuẫn.
Bạn hãy chỉ ra điều mâu thuẫn trong báo cáo trên.

BA CHÀNG CÂU CÁ
Ba người bạn thân là An, Phương, Minh cùng đi câu cá. Khi về, An thấy mình được nhiều bèn cho Phương
và Minh một số cá bằng số cá của mỗi người câu được. Khi ấy, Phương thấy mình được nhiều quá liền cho
lại An và Minh số cá bằng số cá mỗi người hiện có.
Sau lần này, Minh thấy mình nhiều quá bèn cho lại An và Phương số cá bằng số cá hiện có của mỗi người.
Ba người vui vẻ ra về vì số cá của họ đã như nhau.
https://thuviensach.vn

Bạn hãy tính giúp xem mỗi người câu được bao nhiêu cá, biết rằng ba người câu được cả thảy 24
con.

BỐN CHÀNG CÂU CÁ
Xuân, Thu, Nam và Bắc thi tài giành danh hiệu người câu cá giỏi nhất. Vì câu được mỗi loại cá không dễ
như nhau nên họ cho điểm từng loại như
sau: bắt được con cá Măng được 5 điểm, con cá Điêu được 4 điểm, con các Vược được 2 điểm, con cá
Chích được 1 điểm.
Xuân bắt được con cá Măng duy nhất của cả nhóm. Cả nhóm bắt được 3 con Vược. Tổng số điểm của cả
nhóm là 18. Thu được ít điểm nhất mặc dù được nhiều cá nhất. Tổng số điểm của Thu và Bắc bằng số
điểm của Xuân và Nam cộng lại. Điểm của 4 người đều khác lẫn nhau.
Hỏi mỗi người câu được những con cá gì và ai giành được danh hiệu người câu cá giỏi nhất (đạt
điểm cao nhất)?

XẾP THỨ TỰ THEO SỐ CÁ CÂU ĐƯỢC
Bốn chàng trai là Văn, Phong, Cường, Tuấn đem số cá câu được của mỗi người ra so sánh với nhau thì
thấy rằng:
Của Tuấn nhiều hơn của Cường,
Của Văn và Phong cộng lại bằng của Cường và Tuấn cộng lại,
Của Phong và Tuấn cộng lại ít hơn của Văn và Cường cộng lại.
https://thuviensach.vn

Hãy xác định thứ tự các chàng trai theo số cá câu được.

VẬN TỐC DÒNG NƯỚC
Một cây bèo trôi theo dòng nước và một người bơi ngược dòng nước cùng xuất phát vào một thời điểm tại
một mố cầu. Người bơi ngược dòng nước được 20 phút thì quay lại bơi xuôi dòng và gặp cây bèo cách mố
cầu 4km.
Bằng lập luận hãy tính vận tốc dòng nước biết rằng vận tốc bơi của người không thay đổi.

AI ĐÚNG AI SAI?
Một đơn vị công an hàng ngày dùng thuyền máy đi từ A đến B rồi lại từ B về A. Hôm ấy dòng nước
chảy mạnh hơn, chiến sỹ Hiếu nói "Hôm nay
nước chảy mạnh, thuyền xuôi nhanh, ta sẽ về sớm hơn". Chiến sỹ Nghĩa không tán thành, nói: "Đi nhanh
bao nhiêu thì lại về chậm bấy nhiêu, như vậy ta vẫn về như mọi khi".
Bạn hãy làm trọng tài phân giải xem ai đúng, ai sai, biết rằng vận tốc của thuyền máy luôn luôn
không đổi.

CHUYỆN "TRINH THÁM" TRÊN TÀU THỦY
Một tàu thủy hành trình trên sông ngược chiều dòng nước. Trưa nắng đẹp, không có dấu hiệu nào về giông
bão cả. Thế mà bão táp vẫn cứ tới. Đó là lúc 12 giờ 30 phút, phu nhân Smith ăn mặc lộng lẫy xuất hiện ở
ca-bin thuyền trưởng và báo tin sét đánh: Chiếc hộp đựng vàng và kim cương của bà đã không cánh mà
bay. Bà ta nghi cho người phục vụ hoặc cô hầu phòng đã lấy cắp.
Qua lời khai của người phục vụ và cô hầu phòng, thuyền trưởng xác định bước đầu: Hộp vàng-kim
cương bị mất trước thời điểm 12 giờ 30 phút.
Phu nhân Smith nhớ lại: Đúng 10 giờ 30 phút, cô hầu phòng mang cà phê vào cho phu nhân và sang
phòng bên thu dọn ở đó tới 12 giờ trưa thì xong.
Từ 12 giờ 10 đến 12 giờ 20 cô ta lựa đồ trải giường ở phòng khách-điều này cô gái cùng ở với cô ta
cho thuyền trưởng biết. Như thế, từ 12 giờ đến 12 giờ 10, cũng như từ 12 giờ 20 đến 12 giờ 30 cô ta
ở đâu, điều đó còn chưa rõ, mà các khoảng thời gian đó không phải giờ nghỉ của cô ta.
Ngoài người phục vụ và cô hầu phòng còn ai vào phòng phu nhân nữa không? - Thuyền trưởng hỏi.
Có người bạn thân của tôi là phu nhân Brown - phu nhân Smith trả lời - nhưng bà ấy không thể là thủ
phạm.
Bà ta làm gì trong phòng phu nhân?
Bà ấy chơi piano, nhưng lúc 12 giờ 5 phút người phục vụ vào chữa cây đèn làm đứt đoạn cuộc chơi
của bà ấy và chúng tôi đi ra, trong phòng chỉ
https://thuviensach.vn

còn duy nhất người phục vụ, 12 giờ 10 bất ngờ tôi quay lại thì thấy anh ta đang lục đống đồ đạc của tôi và
nói là để tìm phụ kiện của cây đèn. Tôi giận quá đã la mắng anh ta cho đến 12 giờ 25 tôi tới chỗ người bạn
gái. 12 giờ 30 tôi phát hiện ra mất cắp và đã đến báo ngay với ngài.
Thuyền trưởng cho rằng kẻ cắp chỉ là một trong 3 người liên quan nêu trên (kể cả bà Brown). Nhưng
vì chưa có chứng cớ cụ thể nên vẫn cho tàu đi bình thường và ông nói sẽ báo cho công an giải quyết.
13 giờ 30 tàu quay mũi và chạy theo hướng ngược lại (xuôi theo dòng nước), 14 giờ 45 người ta vớt
được một vật nổi trên mặt sông mà phu nhân Smith nhận ra đó là chiếc hộp đựng vàng-kim cương của
bà.
Vật vớt được đã làm thay đổi tình thế và khi tàu cập bến, thuyền trưởng tuyên bố không cần công an
nữa. Sau khi tập trung suy nghĩ ông đã tìm ra thủ phạm.
Vậy ai là thủ phạm? Thuyền trưởng đã suy luận thế nào để tìm ra thủ phạm? Biết rằng trong suốt
cuộc hành trình vận tốc của tàu không đổi.

ĐỒNG HỒ CHẠY NHANH
Đồng hồ của Minh và Tuấn đều chạy nhanh. Đồng hồ của Tuấn chạy nhanh hơn đồng hồ của Minh 0.5
phút một ngày. 12 giờ trưa ngày chủ nhật, khi cả 2 đồng hồ đã chỉ đúng, Minh vặn đồng hồ của Minh
chậm lại 2 phút. Tuấn vặn đồng hồ của mình chậm lại 3 phút. Vài ngày sau đồng hồ của Tuấn chỉ đúng
vào 12 giờ trưa, còn đồng hồ của Minh chỉ đúng vào 12 giờ trưa ngày hôm sau đó.
Hỏi đồng hồ của mỗi bạn chạy nhanh bao nhiêu phút một ngày và đã chỉ đúng vào ngày nào?

LÁ SEN PHỦ KÍN MẶT HỒ
Trong hồ trồng một cây sen, cứ sau một ngày diện tích lá sen lại tăng gấp đôi. Từ 6 giờ ngày 11-06
đến 6 giờ ngày 19-06 (8 ngày) lá sen phủ kín mặt hồ.
Hỏi phải trồng ít nhất bao nhiêu cây sen và trồng vào những ngày nào để 6 giờ ngày 19-06 lá sen
phủ kín 25/64 diện tích mặt hồ?

NHỮNG QUẢ BÓNG MÀU
Trong hộp có 45 bóng màu, gồm 20 màu đỏ, 15 màu xanh, và 10 màu vàng. Cần lấy ra bao nhiêu bóng để
chắc chắn có 3 bóng:
1. Màu đỏ;
2. Cùng màu;
3. Khác màu nhau.

CÀ VẠT KHÁC MÀU
https://thuviensach.vn

Trong tủ kín có 70 cà vạt chỉ khác nhau về màu, gồm 20 đỏ, 20 xanh, 20 vàng, còn lại là màu nâu và đen.
Hỏi cần lấy hú họa bao nhiêu cà vạt để ít ra trong đó có 10 cà vạt cùng màu?

CHÍN NGƯỜI CHƠI CỜ
Có 9 người chơi cờ với nhau, mỗi người đều chơi 8 ván với 8 người kia (với mỗi người 1 ván).
1. Chứng minh rằng ở bất kỳ thời điểm nào cũng có 2 người đã chơi xong cùng một số ván cờ.
2. Chứng minh rằng nếu tại một thời điểm nào đó mà có đúng 2 người đ...